ESTADOS DE ENERGIAS  QUÂNTICO DE GRACELI.

se tem sensibilidades térmicas diferentes conforme os tipos de materiais e tipos de energias que são empregadas, provando assim que os estados de energias e quântico variam conforme são empregadas tipos diferenciados de energias.


ou seja, com amesma temperatura se tem sensibilidades variadas conforme esta temperaura foi produzida sobre um esmo material.

e o mesmo acorre sobre materiais diferenciados.

ou seja, estados de energias variados em mesmos materiais, e também em materiais diferenciados.

X

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Vibração ou oscilação é qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente dentro de um intervalo de tempo. Na engenharia estes movimentos se processam em elementos de máquinas e em estruturas quando submetidos a ações dinâmicas. Um exemplo universal de oscilações ocorre no movimento de um pêndulo simples, intercalando entre suas posições, suas diferentes formas de energia (cinética e potencial), alternando entre tais energias.

Para realizar uma análise de vibrações é importante verificar os graus de liberdade do sistema mecânico, que consiste em identificar o número mínimo de coordenadas independentes necessárias para descrever o movimento espacial de todas partículas de um sistema em qualquer instante de tempo.

Genericamente os sistemas de vibração são compostos por um meio para armazenar energia potencial (elementos de mola), energia cinética (elemento de massa) e de dissipação de energia (amortecedores).^[1]

Grandezas físicas[editar | editar código-fonte]

Os sistemas mecânicos podem ser medidas em aceleração (unidade SI: metros por segundo ao quadrado), velocidade (unidade SI: metros por segundo) ou deslocamento (unidade SI: metros). Para a medição de vibrações em máquinas, são comuns as seguintes unidades:

aceleração: metros por segundo ao quadrado (m/s²), g (1g equivale a, aproximadamente, 9,8065 metros por segundo ao quadrado);

velocidade: metros por segundo (m/s), polegadas por segundo (ips);

deslocamento: micrômetros (1 micrometro equivale a 0,001mm), mils (1 mil equivale a 0,001").

O instrumento comumente utilizado na medição de vibrações é o coletor de dados de vibrações, que utiliza um sistema transdutor de vibrações mecânicas em sinais elétricos conhecido como acelerômetro.

Graus de liberdade[editar | editar código-fonte]

Em vibrações, o conceito de graus de liberdade consiste na definição no número mínimo de coordenadas independentes requerida para determinar completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante.

Classificação das vibrações[editar | editar código-fonte]

Quanto à excitação[editar | editar código-fonte]

Vibrações livres[editar | editar código-fonte]

São aquelas que ocorrem sem a presença de um agente externo durante o movimento, é considerada uma vibração livre aquela que sofreu um impulso inicial e após ele, o sistema continua a vibrar livremente, por conta própria. Exemplos deste tipo de vibração: puxar uma criança em um balanço e depois soltar (note que se assemelha à ação em um pêndulo), percutir um diapasão e deixá-lo tocar.

Vibração forçada[editar | editar código-fonte]

Diz-se que um sistema mecânico sofre vibração forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema durante a vibração. A energia externa pode ser fornecida ao sistema por meio de uma forca aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. a natureza da forca aplicada ou do deslocamento pode ser definida como harmônica, não-harmônica mas periódica, não-periódica ou aleatória. A resposta de um sistema à excitação harmônica é denominada resposta harmônica. A excitação não-periódica pode ser de curta ou longa duração. A resposta de um sistema dinâmico a excitações não-periódicas aplicadas repentinamente é denominada como resposta transitória.

A resposta de um tal sistema, que é a solução da equação do movimento, sob a ação de forças, terá a mesma forma funcional que a força atuante. Isto significa que uma força harmônica produz uma vibração harmônica, uma força periódica produz uma vibração periódica, etc. Os sistemas que serão estudados são representados por equações diferenciais lineares. A solução particular da equação diferencial é, então responsável por representar este movimento. Mas a solução geral é composta de uma solução homogênea e uma solução particular. A solução homogênea representa a parcela transitória da resposta do sistema, aquela que é produzida pelas condições iniciais do movimento

Vibrações amortecidas[editar | editar código-fonte]

É quando qualquer energia é perdida e/ou dissipada na realização da oscilação, sendo por atrito ou qualquer outra força, com isso a energia da vibração se dissipa com o transcorrer do tempo, fazendo com que os níveis vibratórios diminuam progressivamente. Em muitos sistemas físicos, a quantidade de energia dissipada é muito pequena quando comparada a magnitude do sistema, e portanto é desprezada.

Vibrações não amortecidas[editar | editar código-fonte]

Nesse caso tal energia de vibração não se dissipa, isto é, não se perde energia e nem há dissipação da mesma por atrito ou outra resistência durante a vibração, de forma que o movimento vibratório permanece inalterado com o passar do tempo.

Quanto ao conhecimento da força[editar | editar código-fonte]

Vibração determinística[editar | editar código-fonte]

Ocorre quando o valor ou magnitude da excitação, seja ela força ou movimento, aplicada no sistema é conhecida em qualquer instante de tempo.

Vibração aleatória[editar | editar código-fonte]

É aquela que não pode ser prevista, os seus valores não são conhecidos. Como exemplos podemos citar a velocidade do vento e o movimento do solo durante um terremoto.

Quanto aos diversos elementos[editar | editar código-fonte]

Vibração linear

Ocorre quando todos os componentes básicos do sistema (massa, mola e amortecedor) se comportam de maneira linear, o que não ocorre com a mola depois de uma certa deformação, e portanto passa a possuir um comportamento não linear.

Vibração não linear

Quando qualquer elemento se comporta de maneira não linear no sistema, temos a vibração não linear, e portanto teremos que lidar com equações diferenciais mais complexas de se resolver e de análises melhor desenvolvidas, cujo principio da superposição não é válido como para o caso de vibrações do tipo linear. Todo sistema tende a comportar-se não linearmente com o aumento da amplitude, como no caso da mola já mencionado.

Forças de excitação[editar | editar código-fonte]

Um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema durante a vibração. A energia externa pode ser fornecida ao sistema por meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. A natureza da força aplicada ou da excitação de deslocamento pode ser da natureza harmônica, não harmônica mas periódica, não periódica ou aleatória. A resposta de um sistema à excitação harmônica é denominada resposta harmônica. A excitação não-periódica pode ser de curta ou longa duração. A resposta de um sistema dinâmico a excitações não-periódicas aplicadas repentinamente é denominada resposta transitória. ^[1]

Força harmônica[editar | editar código-fonte]

A vibração produzida por uma máquina rotativa desbalanceada, as oscilações de uma chaminé alta provocadas por emissão de vórtices (redemoinhos) sob vento constante e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal de uma estrada são exemplos de vibração excitada harmonicamente.

Considere a resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade (física) sob excitação harmônica da forma ${\displaystyle F(t)=F_{0}e^{i(\omega t+\phi )}}$ ou ${\displaystyle F(t)=F_{0}cos(\omega t+\phi )}$ ou ${\displaystyle F(t)=F_{0}sen(\omega t+\phi )}$. Onde ${\displaystyle F_{0}}$ é a amplitude, ${\displaystyle \omega }$ é a frequência e ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo de fase da excitação harmônica. O valor de ${\displaystyle \phi }$ depende do valor de ${\displaystyle F(t)}$ em t=0 e normalmente é considerado zero. Sob uma excitação harmônica, a resposta do sistema também será harmônica. Se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do sistema, a resposta do sistema também será harmônica. Se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do sistema, a resposta do sistema será muito grande. Essa condição conhecida como ressonância , deve ser evitada, para impedir falha do sistema. ^[1]

• Força harmônica pelo desbalanceamento rotativo^[1]

Massa desbalanceada em rotação num sistema mecânico

Massas desbalanceadas em máquinas rotativas são grandes causadoras de vibração em vários casos de engenharia, como exemplo mais clássico as rodas de um carro que quando estão desbalanceadas causam trepidações no veículo. Um sistema é dito desbalanceado quando o centro de massa desse sistema não coincide com seu centro de rotação. Uma representação simplificada dessa situação pode ser visualizada na figura ao lado. A máquina possui massa ${\displaystyle M}$ e há uma outra massa ${\displaystyle m}$ desbalanceada a uma distância e do seu centro de rotação que é denominada excentricidade. Esse sistema está acoplado a uma mola de rigidez ${\displaystyle k}$ e a um amortecedor viscoso de constante de amortecimento ${\displaystyle c}$. Podemos relacionar a rotação dessa massa desbalanceada a uma força centrífuga ${\displaystyle f=mr\omega ^{2}}$. Essa força pode ser decomposta em componentes horizontal ${\displaystyle f=mr\omega ^{2}cos(\omega t)}$ que será anulada pelo anteparo fixador dessa máquina, como uma parede, e uma componente vertical ${\displaystyle f=mr\omega ^{2}sin(\omega t)}$ que agirá sob o conjunto mola-amortecedor e o fará vibrar. Para esse fenômeno podemos aproveitar dos resultados de outros fenômenos de vibração e descrever a solução particular ${\displaystyle x_{p}(t)=X\sin(\omega t-\phi )}$. Sendo ${\displaystyle X}$ a amplitude da vibração, ${\displaystyle \omega }$ a frequência de oscilação da massa desbalanceada e ${\displaystyle \phi }$ o ângulo de fase. Os valores de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \phi }$ são

${\displaystyle X={\frac {me\omega ^{2}}{[(k-M\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}]^{1/2}}}}$

${\displaystyle \phi =\arctan({\frac {c\omega }{k-M\omega ^{2}}})}$

Equação de movimento[editar | editar código-fonte]

Se uma força ${\displaystyle F(t)}$ agir sobre um sistema massa-mola viscosamente amortecido, a equação de movimento pode ser obtida pela segunda lei de Newton: ${\displaystyle m{\overset {..}{x}}+c{\overset {.}{x}}+kx=F(t)}$. Visto que essa equação é não-homogênea, sua solução geral ${\displaystyle x(t)}$ é dada pela soma da solução homogênea ${\displaystyle x_{h}(t)}$ com a solução particular ${\displaystyle x_{p}(t)}$. A solução homogênea, que é a solução da equação homogênea ${\displaystyle m{\overset {..}{x}}+c{\overset {.}{x}}+kx=0}$ representa a vibração livre do sistema, na qual desaparece com o tempo sob cada uma das condições de amortecimento (subamortecido, amortecido crítico e superamortecido) e sob todas as condições iniciais. Assim, a solução geral da equação obtida pela segunda lei de Newton reduz-se a particular ${\displaystyle x_{p}(t)}$, que representa a vibração em regime permanente. O movimento em regime permanente está presente, contanto que a função forçante esteja presente. ^[1]

Podemos perceber que ${\displaystyle x_{h}(t)}$ desaparece e ${\displaystyle x(t)}$ torna-se ${\displaystyle x_{p}(t)}$ após algum tempo (${\displaystyle \tau }$ na Figura 2). A parte do movimento que desaparece devido ao amortecimento (a parte da vibração livre) é denominada transitória. A taxa à qual o movimento transitório se degrada depende dos valores dos parâmetros do sistema ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle m}$.

Força periódica[editar | editar código-fonte]

Excitação que se repete em certo período, porém com intensidades diferentes. Um exemplo prático são motores de combustão interna. Se a força for periódica, mas não-harmônica, ela pode ser substituída por uma soma de funções harmônicas por da expansão da série de Fourier. Usando o princípio da superposição, a resposta do sistema pode ser determinada pela superposição das respostas às funções forçantes harmônicas individuais.^[1]

De acordo com a teoria desenvolvida pelo matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier, qualquer função periódica F(t), com período T, pode ser representada por uma série infinita da forma abaixo:

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\,cos\,n\omega _{T}t+b_{n}\,sen\,n\omega _{T}t)}$

onde ${\displaystyle \omega _{T}=2\pi /T}$ e onde os coeficientes ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$, e ${\displaystyle b_{n}}$ são dados pelos cálculos a seguir

${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}F(t)\,dt}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}F(t)\,cos\,n\omega _{T}t\,dt\,\,\,\,\,\,\,n=1,2,\ldots }$

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}F(t)\,cos\,n\omega _{T}t\,dt\,\,\,\,\,\,\,n=1,2,\ldots }$

Os coeficientes ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$, são chamados de coeficientes de Fourier. Dessa forma, a equação de movimento para sistemas excitados por uma força desse tipo pode ser expressa como

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,cos\,j\omega t+\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}\,sen\,j\omega t}$

Força transitória[editar | editar código-fonte]

Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: explosão, impacto, etc

Força aleatória[editar | editar código-fonte]

São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas excitados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc.

Exemplo de função harmônica	Exemplo de função periódica não harmônica	Exemplo de função de força transitória	Exemplo de força aleatória

Análise de vibração[editar | editar código-fonte]

Um sistema oscilatório é um sistema cujas variáveis de entrada e de saída dependem do tempo. Analisando portanto, as respostas de um sistema depende das condições iniciais impostas sobre ele. Na prática, os problemas encontrados de vibrações são muito complexos, necessitando de ferramentas computacionais para resolve-los e também ainda assim, fica difícil, detalhar completamente o modelo. Com isso, somente as características mais importantes são consideradas na análise. ^[2]

Os testes de vibração são realizados pela introdução de uma função de forças em uma estrutura, geralmente com algum tipo de agitador.^[3]Em alternativa, um DUT (dispositivo sob teste) está ligado a "mesa" de um agitador. Para frequências relativamente baixas, forçando, são utilizados servo-hidráulicos (electro) agitadores são usados. Para frequências mais altas, são utilizados agitadores eletrodinâmicos. Geralmente um ou mais pontos de controle localizados no lado DUT de um dispositivo elétrico, são mantidos a uma aceleração especificada.^[4]Outros pontos "de resposta" apresentam nível máximo de vibração (ressonância) ou nível mínimo de vibração (anti-ressonância). É normalmente preferível ativar anti-ressonância para evitar um sistema de se tornar muito ruidoso, ou para reduzir a tensão em certas partes de um sistema devido a modos de vibração causados por específicas frequência de vibração.^[5] Dois tipos típicos de teste de vibração são os testes senoidais aleatórios . Os testes senoidais (uma frequência de cada vez) são realizados para examinar a resposta estrutural do dispositivo sob teste (DUT). Um teste aleatório (todas as frequências de uma só vez) é geralmente considerado para replicar mais de perto um ambiente do mundo real, tais como insumos caminhos para um automóvel em movimento. A maioria dos testes de vibração são conduzidos num único eixo DUT de cada vez, embora a maior vibração do mundo real ocorre em vários eixos simultaneamente. MIL-STD-810G, lançado no final de 2008, Test Method 527, exige testes de excitação múltipla. Dispositivos projetados especificamente para rastrear ou gravar vibrações são chamados vibroscópios.

Sistemas oscilatórios com dois graus de liberdade^[1][editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Até aqui foram tratados sistemas com vibratórios em que apenas uma coordenada de deslocamento definia totalmente a vibração. Em termos analíticos, a vibração ficou caracterizada pela solução de uma única equação diferencial do tipo ordinária na variável independente ${\displaystyle t}$. Outra característica importante do que foi visto em sistemas com um grau de liberdade é a existência de uma frequência natural que desempenha uma papel importante tanto na vibração livre quanto na vibração forçada.

A descrição de sistema com dois graus de liberdade implica dizer que são necessárias duas coordenadas independentes para caracterizar o sistema vibratório. Isso implica a existência de duas equações de movimento associado, um para cada massa. De modo geral, essas equações estão na forma de equações diferenciais acopladas, ou seja, cada equação envolve todas as coordenadas.

Modos de vibração[editar | editar código-fonte]

Durante a vibração livre, um sistema com dois graus de liberdade tem dois modos normais de vibração, correspondentes as duas frequências naturais, nas quais as amplitudes dos dois graus de liberdade são relacionadas de modos específicos, denominado modo normal, modo principal ou modo natural de vibração.

Simplificação[editar | editar código-fonte]

A configuração de um sistema com dois graus de liberdade pode ser especificada por um conjunto de coordenadas independentes, denominadas coordenadas generalizadas. Dado que as equações de movimento de um sistema de dois graus de liberdade geralmente são acopladas, de forma que cada equação envolve todos os parâmetros, é sempre possível determinar um conjunto particular de coordenadas de modo que cada equação de movimento contenha apenas uma coordenada. Assim, as equações de movimento se tornam não acopladas e podem ser resolvidas de forma individual. Tal conjunto é denominado coordenadas principais.

Equação de Movimento para Vibrações Forçadas^[1][editar | editar código-fonte]

Se considerarmos um sistema massa-mola com amortecedor viscoso e com dois graus de liberdade como mostra a figura ao lado.

Sistema massa mola e amortecedor com 2 graus de liberdade

O movimento desse sistema será descrito pelas coordenadas ${\displaystyle x_{1}(t)}$e ${\displaystyle x_{2}(t)}$, que definem as posições das respectivas massas ${\displaystyle m_{1}}$e ${\displaystyle m_{2}}$ seja qual for o instante de tempo ${\displaystyle t}$ tendo as posições de equilíbrio como referência. Os respectivos diagramas de corpo livre das massas ${\displaystyle m_{1}}$e ${\displaystyle m_{2}}$ podem ser representados conforme o diagrama de corpo livre.

Diagrama de Corpo Livre

Ao aplicarmos a segunda lei de Newton para cada massa teremos:

${\displaystyle F_{1}=m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}\mathrm {\textvisiblespace} (1)}$

${\displaystyle F_{2}=m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}\mathrm {\textvisiblespace} (2)}$

Pode-se perceber que a equação ${\displaystyle (1)}$ possui termos que envolvem ${\displaystyle x_{2}}$ e que a equação ${\displaystyle (2)}$ também possuirá termos que envolvam ${\displaystyle x_{1}}$. O significado disso é que essas equações representam um sistema de duas EDOs de segunda ordem interligadas. Dessa forma devemos esperar que o movimento de ${\displaystyle m_{1}}$ exerça influência em ${\displaystyle x_{2}}$ e que o movimento de ${\displaystyle m_{2}}$ também influencie no movimento de ${\displaystyle m_{1}}$. As equações ${\displaystyle (1)}$ e ${\displaystyle (2)}$ podem ser escritas matricialmente da forma:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}(t)=[m]{\overrightarrow {\ddot {x}}}(t)+[c]{\overrightarrow {\dot {x}}}(t)+[k]{\overrightarrow {x}}}$

sendo que ${\displaystyle [m]}$, ${\displaystyle [c]}$ e ${\displaystyle [k]}$ são chamadas respectivamente de matriz de massa, amortecimento e rigidez

${\displaystyle [m]={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [c]={\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [k]={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {x}}(t)}$ e ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}(t)}$ são denominados os vetores de deslocamento e força, são representados por:

${\displaystyle {\overrightarrow {x}}(t)={\begin{Bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{Bmatrix}}}$

e

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}(t)={\begin{Bmatrix}F_{1}(t)\\F_{2}(t)\end{Bmatrix}}}$

Pode-se perceber que as matrizes ${\displaystyle [m]}$, ${\displaystyle [c]}$ e ${\displaystyle [k]}$ matrizes quadradas de ordem 2 e que seus elementos são respectivamente, as massas, os coeficientes de amortecimento e as constantes de rigidez das molas ilustrados no problema. Também podemos afirmar que as matrizes são simétricas, e que suas transpostas são iguais as próprias matrizes

${\displaystyle [m]^{T}=[m]}$

${\displaystyle [c]^{T}=[c]}$

${\displaystyle [k]^{T}=[k]}$

Pode-se observar que as equações ${\displaystyle (1)}$ e ${\displaystyle (2)}$ deixam de ser independentes apenas quando ${\displaystyle c_{2}=k_{2}=0}$ que implicaria que as massas ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ não estão conectadas. Para esse caso, as matrizes ${\displaystyle [m]}$, ${\displaystyle [c]}$ e ${\displaystyle [k]}$ passam a ser diagonais. A solução das equações ${\displaystyle (1)}$ e ${\displaystyle (2)}$ envolve quatro constantes de integração, sendo duas para cada equação.

Normalmente, os deslocamentos e as velocidades iniciais das duas massas são tomados como:

${\displaystyle x_{1}(t=0)=x_{1}(0)}$

${\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{1}}}(0)}$

${\displaystyle {x_{2}}(t=0)=x_{2}(0)}$

${\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(0)}$

Determinação das frequências naturais e dos modos de vibração^[1][editar | editar código-fonte]

Primeiramente é necessário determinar as frequências naturais do sistema. Assumindo que a solução é da forma

${\displaystyle {\textbf {x}}(t)={\textbf {u}}e^{j\omega t}}$

em que ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ é um vetor de constante a se determinar, ${\displaystyle \omega }$ é a frequência natural que queremos determinar e ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$. Temos que ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ representa um movimento harmônico desde que ${\displaystyle e^{j\omega t}=cos\,\omega t+j\,sen\,\omega t}$. Dessa forma, substituindo ${\displaystyle {\textbf {x}}(t)}$ na equação de movimento do sistema encontramos

${\displaystyle (-\omega ^{2}M+K){\textbf {u}}e^{j\omega t}={\textbf {0}}}$

em que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle K}$ são as matrizes de massa e de rigidez respectivamente. Podemos dividir os dois lados da equação por ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ uma vez que o termo ${\displaystyle e^{j\omega t}\neq 0}$ para qualquer valor de ${\displaystyle t}$. Obtemos assim a equação

${\displaystyle (-M\omega ^{2}+K){\textbf {u}}={\textbf {0}}}$

Para que a equação acima possua uma solução não trivial temos que a matriz ${\displaystyle (-M\omega ^{2}+K)}$ deve ser singular e portanto

${\displaystyle det{\begin{bmatrix}-\omega ^{2}m_{1}+k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&-\omega ^{2}m_{2}+k_{2}\end{bmatrix}}=0}$

calculando o determinante acima encontramos a seguinte equação

${\displaystyle m_{1}m_{2}\omega ^{4}-(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\omega ^{2}+k_{1}k_{2}=0}$

se considerarmos que a variável é ${\displaystyle \omega ^{2}}$ teremos uma equação de segundo grau e que apresenta duas raízes ${\displaystyle \omega _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \omega _{2}^{2}}$ que são as frequências naturais do sistema.

Uma vez obtido as frequências naturais pode-se resolver as equações abaixo a fim de encontrar os modos de vibração ${\displaystyle {\textbf {u}}_{1}}$e ${\displaystyle {\textbf {u}}_{2}}$

${\displaystyle (-\omega _{1}^{2}M+K){\textbf {u}}_{1}={\textbf {0}}}$

${\displaystyle (-\omega _{2}^{2}M+K){\textbf {u}}_{2}={\textbf {0}}}$

Sistemas oscilatórios com vários graus de liberdade^[1][editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

A partir de agora serão considerados sistemas vibratórios com mais de dois graus de liberdade. É uma extensão da exposição para sistemas caracterizados por mais de duas coordenadas generalizadas. A vibração será definida pela solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias na variável independente ${\displaystyle t}$. Em geral, será conveniente a utilização de matrizes para o tratamento do problema.

O conceito de graus de liberdade está associado aos possíveis deslocamentos que um conjunto de corpos acoplados pode realizar no espaço físico. Assim, um ponto material totalmente livre pode efetuar deslocamentos nas três direções do espaço; tem, portanto, três graus de liberdade, que coincidem com o número de coordenadas necessárias para definir um deslocamento finito do ponto.

Chamam-se de vínculos as restrições impostas ao deslocamento dos corpos móveis. Os vínculos sempre diminuem os graus de liberdade. Assim, se o deslocamento do ponto for restrito a um plano, o número de graus de liberdade passará a ser dois e, se for restrito a uma reta, terá apenas um grau de liberdade. É evidente que, se o ponto material por ação vincular não puder sofrer deslocamentos, então não terá nenhum grau de liberdade.

Sistemas mecânicos em sua maioria podem ter um número infinito de graus de liberdade. Para cada grau de liberdade existe uma única equação de movimento, sendo cada equação obtida por meio da segunda lei de movimento de Newton, no entanto se torna mais conveniente deduzir as equações de movimento de um sistema com muitos graus de liberdade utilizando equações de Lagrange. Além disso, cada equação pode ser considerada acoplada, ou seja, cada uma envolve mais que uma coordenada, significando que estas não podem ser resolvidas individualmente, apenas simultaneamente.

Tendo um sistema com n graus de liberdade, obtém-se n frequência naturais, cada uma associada a sua própria forma modal. Além disso a medida que o número de graus de liberdade aumenta, a solução da equação característica se torna mais complexa. Para calcular o número de graus de liberdade, pode-se utilizar o seguinte método:

$${\displaystyle Numero\ \ de\ \ graus\ \ de\ \ liberdade=Numero\ \ de\ \ massas\ \ no\ \ sistema\ \times \ Numero\ \ de\ \ tipos\ \ de\ \ movimentos\ \ possiveis\ \ de\ \ cada\ \ massa}$$

Modelagem[editar | editar código-fonte]

Adota-se métodos para aproximar um sistema contínuo em um sistema com vários graus de liberdade, dos quais, dois são listados a seguir:

• Sistema de massa concentrada: consiste em substituir a massa ou inércia distribuída por um número finito de massas concentradas ou corpos rígidos. Tais massas estão ligadas por elementos elásticos e amortecedores, ambos de massa desprezível. Nota-se que quanto maior o número de massas concentradas, maior será a precisão da análise, pois assim ocorre maior aproximação do real.
• Método do elemento finito: envolve substituir a geometria do sistema por um grande número de elementos infinitesimais, onde novamente, quanto maior o número de elementos, maior a precisão.

Equação de Movimento[editar | editar código-fonte]

Aplicando a segunda lei do movimento de Newton para um sistema massa-mola-amortecedor com n graus de liberdade obtém-se a seguinte equação de movimento:

$${\displaystyle \left[m\right]{\ddot {\overrightarrow {x}}}+\left[c\right]{\dot {\overrightarrow {x}}}+\left[k\right]{\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {F}}}$$

Onde ${\displaystyle \left[m\right],\ \left[c\right]}$ e ${\displaystyle \left[k\right]}$ são denominados de matrizes de massa, amortecimento e rigidez, respectivamente. Tais matrizes são dadas por:

$${\displaystyle \mathbf {[m]} ={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&\cdots &m_{1n}\\m_{21}&m_{22}&\cdots &m_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n1}&m_{n2}&\cdots &m_{nn}\end{bmatrix}}\qquad {\mathbf {[c]} ={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{bmatrix}}}\qquad {\mathbf {[k]} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{bmatrix}}}}$$

Se a matriz de rigidez tem no mínimo um termo não nulo fora da sua diagonal, diz-se que o sistema está estaticamente acoplado. Caso esta situação ocorra na matriz de massa, tem-se que o sistema é dinamicamente acoplado. Se ambas as matrizes de massa e de rigidez tiverem termos não-zero fora da diagonal, o sistema é acoplado estática e dinamicamente.

Além disso ${\displaystyle {\ddot {\overrightarrow {x}}},\ {\dot {\overrightarrow {x}}},\ {\overrightarrow {x}}}$ e ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ são os vetores aceleração, velocidade, deslocamento e força respectivamente, que atuam no sistema a ser analisado, e estes são dados por:

$${\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\begin{Bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\.\\.\\.\\x_{n}(t)\end{Bmatrix}}\qquad {\dot {\overrightarrow {x}}}={\begin{Bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\\.\\.\\.\\{\dot {x}}_{n}(t)\end{Bmatrix}}\qquad {\ddot {\overrightarrow {x}}}={\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}_{1}(t)\\{\ddot {x}}_{2}(t)\\.\\.\\.\\{\ddot {x}}_{n}(t)\end{Bmatrix}}\qquad {\overrightarrow {F}}={\begin{Bmatrix}F_{1}(t)\\F_{2}(t)\\.\\.\\.\\F_{n}(t)\end{Bmatrix}}}$$

Graus de liberdade é, na física, um termo genérico utilizado em referência à quantidade mínima de números reais necessários para determinar completamente o estado físico de um dado sistema. Esse conceito é empregado em mecânica clássica e termodinâmica.

Na mecânica, para cada partícula do sistema e para cada direção em que esta é capaz de mover-se existem dois graus de liberdade, um relacionado com a posição e outro com a velocidade. Observe-se que essa definição não coincide nem com a definição de graus de liberdade que se usa em engenharia de máquinas, nem com a que se usa em engenharia estrutural.

Mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Na mecânica hamiltoniana, o número de graus de liberdade de um sistema coincide com a dimensão topológica do espaço de fases do sistema. Na mecânica lagrangiana, o número de graus de liberdade coincide com a dimensão do fibrado tangente do espaço de configuração do sistema.

Mecânica estatística[editar | editar código-fonte]

Teorema de equipartição da energia[editar | editar código-fonte]

Segundo o teorema proposto por James Clerk Maxwell:

Toda molécula tem um certo número ${\displaystyle N}$ de graus de liberdade, que são formas independentes pelas quais a molécula pode armazenar energia. A cada grau de liberdade está associada (em média) uma energia de ${\displaystyle {\frac {k_{B}T}{2}}}$ por molécula (ou ${\displaystyle {\frac {RT}{2}}}$ por mol).^[1]

No limite clássico da mecânica estatística, a energia de uma molécula de um gás de um sistema em equilíbrio térmico com ${\displaystyle N}$ graus de liberdade quadráticos e independentes é:

${\displaystyle U=\langle E\rangle =N\,{\frac {k_{B}T}{2}}}$

onde:

• ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann
• ${\displaystyle T}$ é a temperatura
• ${\displaystyle N}$ é o número de graus de liberdade do sistema
• ${\displaystyle R}$ é constante universal dos gases ideais

Graus de liberdade de várias moléculas

Graus de liberdade
Moléculas	Exemplo	Translação	Rotação	Total(${\displaystyle N}$)
Monoatômicas	He, Ar, Ne, Kr	3	0	3
Diatômicas	H2, N2, O2, CO, Cl2	3	2	5
Poliatômicas	SO2, H2O, CH4	3	3	6

Calor específico molar
Moléculas	${\displaystyle C_{v}}$	${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$
Monoatômicas	${\displaystyle {\frac {3}{2}}R}$	${\displaystyle {\frac {5}{2}}R}$
Diatômicas	${\displaystyle {\frac {5}{2}}R}$	${\displaystyle {\frac {7}{2}}R}$
Poliatômicas	${\displaystyle 3R}$	${\displaystyle 4R}$

onde:

• ${\displaystyle C_{v}}$ é o calor específico molar a volume constante;
• ${\displaystyle C_{p}}$ é o calor específico molar a pressão constante

Espaço de fases em mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Uma das características distintas da mecânica quântica é que o estado físico de um sistema não determina o resultado de qualquer medida que possa fazer-se sobre ele. Em termos mais simples, o resultado de uma medida sobre dois sistemas quânticos que tenham o mesmo estado físico nem sempre resulta nos mesmos resultados. Assim uma teoria como a mecânica quântica que trata de descrever a evolução temporal dos sistemas físicos só pode prever a probabilidade de que ao medir uma determinada grandeza física se obtenha determinado valor. Isto quer dizer que a mecânica quântica realmente é uma teoria que explica como varia a distribuição de probabilidade das possíveis medidas de um sistema (entre duas medições consecutivas, já que no instante da medida se produz um colapso da função de onda aleatório).

O estado quântico de um sistema pelas razões anteriormente expostas não se parece em nada ao estado clássico de uma partícula ou um sistema de partículas. De fato o estado quântico de um sistema é representável mediante uma função de onda:

$${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$$

A relação mais próxima entre espaço fásico e função de onda é que o quadrado do módulo da função de onda está relacionado com uma distribuição de probabilidade definida sobre o espaço fásico. Isto significa que, para construir o conjunto de estados quânticos ou espaço de Hilbert de certos sistemas quânticos, pode considerar-se inicialmente o espaço fásico que se usaria em sua descrição clássica e considerar o conjunto de funções de quadrado integrável sobre o espaço fásico, a este tipo de procedimento se conhece como quantização.

Sistemas conservativos[editar | editar código-fonte]

Bloco a oscilar sobre uma superfície horizontal.

Na prática, os sistemas conservativos são muito raros. No entanto, um sistema idealizado em que não existem forças não conservativas é muito útil para estudar o movimento e caraterizar o sistema. O efeito das forças não conservativas pode ser adicionado mais tarde no sistema ideal conservativo. Galileo Galilei foi um pioneiro no estudo de sistemas idealizados; imaginando como seria o movimento de um objeto sem forças de atrito e a queda livre sem resistência do ar, conseguiu descobrir a lei da inércia e a aceleração da gravidade que mais tarde serviram de base a Isaac Newton para descobrir as leis do movimento.

Considere-se um bloco de massa ${\displaystyle m}$ sobre uma superfície horizontal, ligado a uma mola elástica horizontal de constante elástica ${\displaystyle k}$, tal como mostra a figura ao lado. Na situação idealizada em que o atrito entre o bloco e a superfície for nulo, a energia mecânica do sistema de bloco e mola permaneceria constante.

Existe um único grau de liberdade, que pode ser a posição ${\displaystyle x}$ do centro do bloco, ao longo de um eixo horizontal com origem na posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida. A energia mecânica do sistema é,

${\displaystyle E_{\mathrm {m} }={\dfrac {1}{2}}m\,{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {1}{2}}k\,x^{2}}$

e, por ser constante, a sua derivada em ordem ao tempo deverá ser nula:

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} \,E_{\mathrm {m} }}{\mathrm {d} \,t}}=m\,{\dot {x}}{\ddot {x}}+k\,x\,{\dot {x}}=0}$

Excluindo os pontos de equilíbrio em que ${\displaystyle {\dot {x}}}$ é nula, a partir dessa equação obtém-se a equação de movimento do oscilador harmônico simples,

${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\dfrac {k}{m}}\,x}$

essa equação, junto com ${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$, são as equações de evolução do sistema:

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} \,x}{\mathrm {d} \,t}}=v_{x}\qquad \qquad {\dfrac {\mathrm {d} \,v_{x}}{\mathrm {d} \,t}}=-{\dfrac {k}{m}}\,x}$

Repare-se que a resolução das equações de evolução permite encontrar as expressões para ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle v_{x}}$ em função de ${\displaystyle t}$ e a expressão da energia mecânica é a expressão que relaciona ${\displaystyle x}$ com ${\displaystyle v_{x}}$ diretamente.

A mecânica estatística (ou física estatística) é o ramo da física que, utilizando a teoria das probabilidades, estuda o comportamento de sistemas mecânicos macroscópicos compostos por um elevado número de entidades constituintes microscópicas a partir do comportamento destas entidades, quando seus estados são incertos ou indefinidos. Os constituintes podem ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É uma teoria que relaciona um nível de descrição macroscópico (Termodinâmica) com um nível microscópico (Mecânica).^[1][2][3]

O estudo de todos os microestados destes sistemas em toda a sua complexidade é pouco prático ou mesmo inviável. Para contornar essa dificuldade, a mecânica estatística usa um conjunto de cálculos probabilísticos para a ocorrência dos diferentes microestados e atribuir uma série de vínculos matemáticos, como a hipótese de ergodicidade.

A mecânica estatística é usada para explicar, por exemplo, o funcionamento termodinâmico de grandes sistemas, sendo chamada então de termodinâmica estatística ou mecânica estatística de equilíbrio. Leis mecânicas microscópicas não contêm conceitos tais como a temperatura, o calor, ou a entropia. No entanto, a mecânica estatística mostra como esses conceitos surgem da incerteza natural sobre o estado de um sistema quando esse sistema é preparado na prática. A vantagem de usar a mecânica estatística é que ela fornece métodos exatos para relacionar grandezas termodinâmicas (tais como a capacidade térmica) para comportamento microscópico, enquanto que na termodinâmica clássica a única opção disponível seria apenas medir e tabular tais quantidades para vários materiais. A mecânica estatística também torna possível estender as leis da termodinâmica para casos que não são considerados na termodinâmica clássica, tais como sistemas microscópicos e outros sistemas mecânicos com poucos Graus de liberdade.^[1]

A mecânica estatística também encontra uso fora do equilíbrio. Outra importante divisão é conhecida como mecânica estatística do não-equilíbrio, que lida com a questão de modelar microscopicamente a velocidade de processos irreversíveis que são movidos por desequilíbrios. Exemplos de tais processos incluem reações químicas ou fluxos de partículas e de calor. Ao contrário de com o equilíbrio, não há formalismo exato que se aplique a mecânica estatística do não-equilíbrio em geral, e por isso este ramo da mecânica estatística continua a ser uma área ativa de pesquisa teórica.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Em 1738, o físico e matemático suíço Daniel Bernoulli publica seu livro Hydrodynamica, que lançou as bases para a teoria cinética dos gases. Neste trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda em uso hoje em dia, que os gases consistem de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções, que o impacto delas sobre uma superfície causa a pressão e que a temperatura do gás está relacionada à energia cinética dessas moléculas.^[4]

Em 1859, depois de ler um artigo de Rudolf Clausius sobre a difusão de moléculas, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell de velocidades moleculares. Esta foi a primeira lei estatística em física.^[5] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, então um jovem estudante em Viena, conhece a pesquisa de Maxwell e passa grande parte de sua vida desenvolvendo o assunto ainda mais.

A mecânica estatística foi iniciada na década de 1870 com os trabalhos de Boltzmann, com grande parte dele sendo publicado em 1896, na obra “Palestras sobre Teoria dos Gases”.^[6] Os artigos originais de Boltzmann sobre a interpretação estatística da termodinâmica, o teorema H, teoria de transporte, o equilíbrio térmico, a equação de estado de gases e assuntos semelhantes, ocupam cerca de 2 000 páginas no acervo da Academia de Viena e outras sociedades. Boltzmann introduziu o conceito de um conjunto canônico estatístico de equilíbrio e também pesquisou pela primeira vez a mecânica estatística do não-equilíbrio, com seu teorema H.

Pode-se dizer que a mecânica estatística nasceu dos trabalhos de Maxwell e Boltzmann. Dos estudos sobre as partículas constituintes dos gases (átomos e moléculas) e dos níveis de energia resultou uma grande quantidade de informações sobre as grandezas macroscópicas baseadas somente nas grandezas microscópicas médias.

O termo "mecânica estatística" foi cunhado pelo físico matemático americano J. Willard Gibbs em 1884.^[7] Pouco antes de sua morte, Gibbs publica em 1902 seu livro “Princípios Elementares em Mecânica Estatística”, formalizando a mecânica estatística como uma abordagem geral para atender todos os sistemas mecânicos - macroscópicas e microscópicas, gasosos ou não-gasosos.^[1] Os métodos de Gibbs foram inicialmente derivados no quadro da mecânica clássica, no entanto, eles foram de tal generalidade que se adaptaram facilmente à mecânica quântica e ainda hoje formam a base da mecânica estatística.^[2]

Princípios[editar | editar código-fonte]

Na física, existem dois tipos de mecânica normalmente examinados: a mecânica clássica e mecânica quântica. Para ambos os tipos de mecânica, a abordagem matemática padrão é considerar dois ingredientes:

1. O estado completo do sistema mecânico em um determinado momento, matematicamente codificada como um ponto de fase (mecânica clássica) ou um vetor de estado quântico puro (mecânica quântica).
2. Uma equação de movimento que leva o estado a frente no tempo: equações de Hamilton (mecânica clássica) ou a equação de Schrödinger dependente do tempo (mecânica quântica)

Usando estes dois ingredientes, o estado em qualquer outro momento, passado ou futuro, pode, em princípio, ser calculado. Há, porém, uma desconexão entre essas leis e a experiência prática, não sendo necessário, nem teoricamente possível, saber com exatidão a um nível microscópico a posição e a velocidade de cada molécula durante a realização de processos na escala humana, por exemplo, quando se realiza uma reação química. A mecânica estatística preenche essa desconexão entre as leis da mecânica e da experiência prática do conhecimento incompleto, adicionando alguma incerteza sobre qual estado o sistema está inserido, por meio da probabilidade.

Enquanto a mecânica clássica considera apenas o comportamento de um único estado, a mecânica estatística introduz o conceito de ensemble estatístico, que é uma grande coleção de cópias do sistema, virtuais e independentes, em vários estados. O ensemble estatístico é uma distribuição de probabilidade sobre todos os possíveis estados do sistema. Na mecânica estatística clássica, o ensemble é uma distribuição de probabilidade sobre pontos de fases (em oposição a um único ponto de fase na mecânica tradicional), normalmente representado como uma distribuição num espaço de fase com coordenadas canônicas. Em mecânica estatística quântica, o ensemble é uma distribuição de probabilidade sobre estados puros, e pode ser resumido como uma matriz densidade.

O ensemble pode ser interpretado de duas maneiras:^[1]

1. Um ensemble pode ser considerado como a representação dos vários estados possíveis que um único sistema pode estar (probabilidade epistemológica), ou
2. Os membros do ensemble podem ser entendidos como os estados dos sistemas em experiências repetidas em sistemas independentes, que foram preparados de um modo semelhante, mas imperfeitamente controlado (probabilidade empírica), no limite de um número infinito de ensaios

Estes dois entendimentos são equivalentes para fins diversos, e serão utilizados de maneira intercambiável neste artigo.

Em qualquer modo que a probabilidade é interpretada, cada estado no ensemble evolui ao longo do tempo de acordo com a equação de movimento. Assim, o próprio ensemble (a distribuição de probabilidade sobre estados) também evolui, com os sistemas virtuais do ensemble continuamente deixando um estado e entrando em outro. A evolução do ensemble é dada pela equação de Liouville (mecânica clássica) ou a equação de von Neumann (mecânica quântica). Estas equações são derivadas pela aplicação da equação de movimento mecânico separadamente para cada sistema virtual contido no ensemble, com a probabilidade do sistema virtual ser conservado ao longo do tempo à medida que evolui de estado para estado.

Uma classe especial de ensemble trata daqueles que não evoluem ao longo do tempo. Esses ensembles são conhecidos como ensembles de equilíbrio e a sua condição é conhecida como equilíbrio estatístico. O equilíbrio estatístico ocorre se, para cada estado no ensemble, o ensemble também contém todos os seus estados futuros e passados com probabilidades iguais à probabilidade de estar nesse estado. O estudo dos ensembles de equilíbrio de sistemas isolados é o foco da termodinâmica estatística. A mecânica estatística do não-equilíbrio aborda o caso mais geral de conjuntos que mudam ao longo do tempo, e/ou conjuntos de sistemas não-isolados.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A propriedade central da mecânica estatística é a utilização de métodos estatísticos para a formulação de uma teoria cinética para átomos e moléculas, com o intuito de explicar as propriedades deles em um nível macroscópico da natureza.^[8]

Um teorema chave é o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás a uma certa temperatura ${\displaystyle T,}$ que é calculado como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{B}T}$ (graus de liberdade).

A distribuição de Boltzmann é um resultado muito conhecido na física, que relaciona a Termodinâmica com a Mecânica Estatística.^[8] Por exemplo: a distribuição de moléculas na atmosfera - desconsiderando ventos e que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura ${\displaystyle T.}$

Supondo que ${\displaystyle N}$ é o número de moléculas total em um volume ${\displaystyle V}$ de um gás à pressão ${\displaystyle P,}$ então tem-se que:

${\displaystyle PV=NRT,}$ ou ${\displaystyle P=nk_{B}T,}$ sendo ${\displaystyle n={\frac {N}{V}}}$ o número de moléculas por unidade de volume. A temperatura sendo uma constante, a sua pressão será proporcional à sua densidade.

A pressão sobre uma camada ${\displaystyle h+dh}$ deve ser tal a balancear o peso.

A variação de densidade em função da altitude se dá ao tomar-se uma unidade de área com altura ${\displaystyle h;}$ sua força vertical será a força sobre a área sendo representado por ${\displaystyle P}$ (pressão).

Em um sistema em equilíbrio, suas forças nas moléculas deverão ser balanceadas ou nulas sendo ${\displaystyle h+dh}$ a pressão feita na área inferior da camada que deve superar a pressão sobre a área de cima da camada assim balanceando com o peso.

Sendo ${\displaystyle mg}$ a força da gravidade em cada molécula, ${\displaystyle ndh}$ é o número total das moléculas em cada área.^[8] Com todas essas informações obtém-se a equação diferencial que representa o equilíbrio

${\displaystyle P_{h}+dh-P_{h}=dP=-mgndh}$

Assim, sendo ${\displaystyle P=nk_{B}T}$ e também ${\displaystyle T}$ constantes , elimina-se ${\displaystyle P}$ e resta a equação para ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dh}}={mg}{k_{B}T}n}$

Tem-se a variação da densidade em função da altura na atmosfera do exemplo:

${\displaystyle n=n_{0}e^{-mgh/k_{B}T},}$ sendo ${\displaystyle n_{0}}$ a densidade em relação à ${\displaystyle h=0}$

Densidade de átomos n em função da altura h

O numerador do expoente da equação anterior representa a energia potencial para cada átomo, sendo sua densidade em cada ponto igual a

${\displaystyle e^{-\in /k_{B}T}}$

Sendo que ${\displaystyle \in }$ é a energia potencial de cada átomo.

Supondo que haja diversas forças em atuação nos átomos, sendo elas carregadas e estejam sob forte influência de um campo elétrico ou haja atração entre elas.

Havendo um tipo apenas de molécula, a força em uma porção de gás será a força sobre uma molécula ${\displaystyle \times }$ o número de moléculas nessa mesma porção, sendo que a força age na direção ${\displaystyle x.}$ Semelhante em sua forma do problema da atmosfera, tomando dois planos paralelos no gás apenas separados por uma distância representada por ${\displaystyle dx,}$ então a força sobre cada átomo multiplicada pela a densidade ${\displaystyle n}$ e por ${\displaystyle dx}$ deve ser balanceada pela diferença de pressão, ou seja,

${\displaystyle Fndx=dP=k_{b}T\;dn}$

sendo ${\displaystyle dW=-Fdx}$ o trabalho feito sobre uma molécula ao transportá-la de ${\displaystyle x}$ até ${\displaystyle x+dx,}$ seu trabalho é igual à diferença de energia potencial (ao quadrado) ${\displaystyle U}$ assim,

${\displaystyle dU=-Fdx}$

Obtém-se da equação de força anterior:

${\displaystyle {\frac {dn}{n}}=-{\frac {dU}{k_{B}T}}}$

Resultando em

${\displaystyle n=n_{0}e^{-U/k_{B}T}}$

Sendo ${\displaystyle U}$ a variação de energia do estado final e inicial.

Esta última expressão é tratada como sendo a Lei de Boltzmann e pode ser interpretada da seguinte forma:

A probabilidade de encontrar moléculas em uma dada configuração espacial é tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura.

Tal probabilidade diminui exponencialmente com a energia dividida por ${\displaystyle k_{B}T.}$

Mecânica estatística de equilíbrio[editar | editar código-fonte]

A mecânica estatística de equilíbrio, também chamada de termodinâmica estatística, tem como objetivo derivar os princípios da termodinâmica clássica dos materiais a partir de suas partículas constituintes e a interação entre elas. Ou seja, a mecânica estatística de equilíbrio relaciona as propriedades macroscópicas dos materiais em equilíbrio termodinâmico com os comportamentos microscópicos ocorrendo dentro do material. Porém, enquanto a mecânica estatística envolve dinâmica, na termodinâmica estatística há o equilíbrio estatístico, ou estado estável. Isso não significa que as partículas não se movam (equilíbrio mecânico), mas sim que o ensemble não está evoluindo.

Postulado de igual probabilidade a priori[editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente (mas não necessária) para o equilíbrio estatístico com um sistema isolado é que a distribuição de probabilidade seja uma função somente de propriedades conservadas (energia total, o número de partículas totais, etc.). Existem muitos conjuntos de equilíbrio diferentes que podem ser considerados, e apenas alguns deles correspondem à termodinâmica. Postulados adicionais são necessários para dizer porque o conjunto para um determinado sistema deve ser de uma forma ou de outra.

Uma abordagem comum encontrada em muitos livros didáticos é usar o postulado de igual probabilidade a priori. Esse postulado diz que

"Para um sistema isolado com uma energia conhecida com exatidão e a composição exatamente conhecida, o sistema pode ser encontrado com igual probabilidade em qualquer microestado consistente com tal conhecimento."

Portanto, o postulado de igual probabilidade a priori proporciona a base para o conjunto microcanônico descrito abaixo. Há vários argumentos a favor do postulado de igual probabilidade a priori:

• Hipótese ergódica: Um estado ergódico é aquele que evolui ao longo do tempo para explorar "todos estados acessíveis": todos aqueles com a mesma energia e composição. Em um sistema ergódico, o conjunto microcanônico é o único conjunto de equilíbrio possível com energia fixa. Esta abordagem tem aplicabilidade limitada, uma vez que a maioria dos sistemas não são ergódicos.
• Princípio da indiferença: Na ausência de quaisquer outras informações, só podemos atribuir probabilidades iguais para cada situação compatível.
• Entropia máxima: Uma versão mais elaborada do princípio da indiferença afirma que o conjunto correto é o conjunto que é compatível com a informação conhecida e que tem a maior entropia de Gibbs.

Outros postulados fundamentais para a mecânica estatística também foram propostos.

Ensembles ou conjuntos[editar | editar código-fonte]

Existem três ensembles de equilíbrio com uma forma simples, que podem ser definidos para qualquer sistema isolado delimitado dentro de um volume finito. Estes são os conjuntos mais frequentemente discutidos em termodinâmica estatística. No limite macroscópico, todos eles correspondem a termodinâmica clássica.

Conjunto microcanônico[editar | editar código-fonte]

Um conjunto microcanônico é um conjunto de réplicas de microssistemas identicamente preparados. Descreve um sistema com energia precisamente determinada e composição fixa (número preciso de partículas). Cada réplica tem os mesmos possíveis valores de massa(m), volume(V) e energia (E), mas cada uma pode evoluir diferentemente através do espaço de configurações. No conjunto microcanônico não há troca de calor entre o sistema e o exterior e o número de partículas é fixo. O conjunto microcanônico contém com igual probabilidade cada estado possível que é consistente com essa energia e composição.

Conjunto canônico[editar | editar código-fonte]

Semelhantemente, um conjunto canônico é um conjunto de réplicas de um sistema, identicamente preparados, onde cada um tem valores definidos de massa(m), volume(V) e temperatura(T). Descreve um sistema de composição fixa que se encontra em equilíbrio térmico com um banho de calor de uma temperatura precisa, ou seja, no conjunto canônico o número de partículas é fixo, mas o sistema troca calor com o ambiente. O conjunto canônico contém estados de variação de energia, mas composição idêntica; os diferentes estados no conjunto possuem diferentes probabilidades, dependendo de sua energia total.

Conjunto grão-canônico[editar | editar código-fonte]

Descreve um sistema com a composição não fixada (número de partículas incerto) que está em equilíbrio térmico e químico com um reservatório termodinâmico. Assim, no conjunto grão-canônico o sistema pode trocar calor e partículas, ou seja, o número de partículas pode variar. O reservatório tem uma temperatura precisa, e os potenciais químicos precisos para diversos tipos de partículas. O ensemble grão-canônico contém estados de variação de energia e número variado de partículas; os diferentes estados no conjunto possuem diferentes probabilidades, dependendo de sua energia total e número de partículas totais.

Para sistemas contendo muitas partículas (o limite termodinâmico), todos os três conjuntos listados acima tendem a ter um comportamento idêntico. Nesse caso, a escolha do conjunto é simplesmente uma questão de conveniência matemática.

Casos importantes onde os conjuntos termodinâmicos não dão resultados idênticos incluem:

• Sistemas microscópicos;
• Grandes sistemas em fase de transição;
• Grandes sistemas com interações de longo alcance.

Nestes casos, o conjunto termodinâmico deve ser escolhido corretamente, pois existem diferenças observáveis ​​entre estes conjuntos não apenas no tamanho das flutuações, mas também em quantidades médias, tais como a distribuição de partículas. O conjunto correto é o que corresponde à maneira como o sistema foi preparado e caracterizado, em outras palavras, o conjunto que reflete o conhecimento sobre esse sistema.

	Ensembles termodinâmicos
	Microcanônico	Canônico	Grão-canônico
Variáveis fixas	N, E, V	N, T, V	μ, T, V
Características microscópicas	Número de microestados ${\displaystyle W}$	Função de partição canônica ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}}$	Função de partição grão-canônica ${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}}$
Função macroscópica	Entropia de Boltzmann ${\displaystyle S=k_{B}\ln W}$	Energia livre de Helmholtz ${\displaystyle F=-k_{B}T\ln Z}$	Grande potencial ${\displaystyle \Omega =-k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}}$

Interpretação estatística[editar | editar código-fonte]

Em 1877, Ludwig Boltzmann visualizou um método probabilístico para medir a entropia de um determinado número de partículas de um gás ideal, na qual ele definiu entropia como proporcional ao logaritmo neperiano do número de microestados que um gás pode ocupar:

${\displaystyle S=k\cdot \ln \Omega }$

Onde S é a entropia, k é a constante de Boltzmann e Ω é o número de microestados possíveis para o sistema.

O trabalho de Boltzmann consistiu em encontrar uma forma de obter a equação entrópica fundamental S a partir de um tratamento matemático-probabilístico^{[Nota 10]} facilmente aplicável aos sistemas em questão. Ao fazê-lo, conectou o todo poderoso formalismo termodinâmico associado à equação fundamental a um método de tratamento probabilístico simples que exige apenas considerações físicas primárias sobre o sistema em análise, obtendo, a partir de considerações básicas, todo o comportamento termodinâmico do sistema. A equação de Boltzman mostra-se muito importante para o estudo termodinâmico de tais sistemas, e reconhecida como tal pelo próprio autor, encontra-se gravada em sua lápide.^{[Nota 11]}

A vibração flexional, também conhecida como vibração transversal, representa o modo de vibração mais complexo dentre os três principais modos de vibração (vibração longitudinal, vibração flexional e vibração torcional) em relação ao modo como a frequência de ressonância é afetada, não apenas pelo comprimento e secção transversal do corpo de prova, mas pela razão entre ambos.^[1].

Para corpos de prova em formato de barras, é mais fácil excitar a vibração flexional do que a vibração longitudinal. E, sendo assim, a vibração flexional é a mais recomendada na determinação do módulo de Young de barras.

Barra retangular excitada para captação das frequências flexionais.

Uma barra apoiada livremente apresenta uma série de nós (locais cuja amplitude da onda é zero, ou seja, onde ocorrem interferências destrutivas) e antinós ou ventres (locais onde a amplitude atinge seu valor máximo, ou seja, apresentam interferência construtiva).

Para a menor frequência de ressonância chamada de frequência flexional fundamental (ou modo fundamental) os pontos nodais (amplitude zero) ocorrem a 0,224L de cada extremidade (sendo L o comprimento da barra), com os antinós ou ventres (amplitude máxima) localizados no centro e em cada extremidade.

Pela figura é possível observar que quando n = 1, os pontos nodais aparecem nas extremidades, (0,224L), enquanto que o máximo de amplitude localiza-se no centro da barra e em suas extremidades.

Portanto, as frequências flexionais surgem quando um corpo de prova no formato de barra encontra-se apoiado em seus pontos nodais (0,224L) e o mesmo sofre um impacto no centro ou nas extremidades (locais de maior amplitude da onda).^[2]

Vários tipos de suportes são utilizados para apoiar corretamente os corpos de prova nos pontos nodais de acordo com sua geometria e tamanho e com auxílio de equações matemáticas^[2] e equipamentos modernos obtém-se o módulo de Young com grande precisão.

• Módulo de Young
  • Ensaio não destrutivo
• Vibração longitudinal
• Vibração torcional

Vibrações livres transversais[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinita governada por

${\displaystyle {\operatorname {\partial ^{4}} \!y \over \operatorname {\partial } \!x^{4}}+{\frac {1}{a^{2}}}{\operatorname {\partial ^{2}} \!y \over \operatorname {\partial } \!t^{2}}=0,t>0,x\in (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle y(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle {\operatorname {\partial } \!y \over \operatorname {\partial } \!t}(x,0)=ag''(x).}$

Usando a transformada de Fourier e pondo${\displaystyle Y(k,t)={\mathcal {F}}\{y(x,t)\}}$, obtemos

${\displaystyle {\operatorname {\partial ^{2}} \!Y \over \operatorname {\partial } \!t^{2}}+k^{4}a^{2}Y=0}$

${\displaystyle Y(0)={\mathcal {F}}\{f\}=F(k)}$

${\displaystyle {\operatorname {\partial } \!Y \over \operatorname {\partial } \!t}(0)=-ak^{2}G(k).}$

tendo a resolução

${\displaystyle Y(k,t)=F(k)\cos(ak^{2}t)-G(k)\operatorname {sen}(ak^{2}t).}$

Tomando a transformada inversa de Fourier

${\displaystyle y(k,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(k)\cos(ak^{2}t)e^{itk}\,dk-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G(k)\operatorname {sen}(ak^{2}t)e^{itk}\,dk.}$

Usando o fato que,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-k^{2}a}e^{ikx}\,dk={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {a}}}e^{\frac {x^{2}}{4a}}}$

e

${\displaystyle {\frac {1}{(ai)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}e^{i{\frac {1}{4}}\pi },}$

trocamos a por ai para obter

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(\cos(ak^{2}t)-i\operatorname {sen}(ak^{2}t))e^{itk}\,dk={\frac {1}{2{\sqrt {a\pi }}}}e^{({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}})}.}$

Tomando as partes real e imaginária nesta equação obtemos que

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\cos(ak^{2}t)e^{itk}\,dk={\frac {\sqrt {2}}{4{\sqrt {a\pi }}}}{\biggl (}\cos \left({\frac {x^{2}}{4a}}{\biggr )}+\operatorname {sen} \left({\frac {x^{2}}{4a}}\right)\right)}$

e

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sen}(ak^{2}t)e^{itk}\,dk={\frac {\sqrt {2}}{4{\sqrt {a\pi }}}}{\biggl (}\cos \left({\frac {x^{2}}{4a}}{\biggr )}-\operatorname {sen} \left({\frac {x^{2}}{4a}}\right)\right).}$

Usando o resultado sobre convoluções das propriedades de Fourier, obtemos que:
${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(k)\cos(ak^{2}t)e^{-itk}\,dk={\frac {\sqrt {2}}{4{\sqrt {at\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\left[cos\left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)+\operatorname {sen} \left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)\right]dy}$

e

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(k)\operatorname {sen}(ak^{2}t)e^{-itk}\,dk={\frac {\sqrt {2}}{4{\sqrt {at\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x-y)\left[cos\left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)-\operatorname {sen} \left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)\right]dy}$

ou seja,

${\displaystyle y(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {at\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\left(cos\left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)+\operatorname {sen} \left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)\right)dy-{\frac {1}{2{\sqrt {at\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x-y)\left(cos\left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)-\operatorname {sen} \left({\frac {y^{2}}{4at}}\right)\right)dy.}$^[3]

No estudo das teorias de vibrações, a integral de Duhamel é uma maneira de calcular e modelar como sistemas lineares e estruturas respondem a perturbações externas dependentes do tempo.

Introdução[editar | editar código-fonte]

A resposta de um sistema linear, amortecido viscosamente e com apenas um grau de liberdade a algum estímulo mecânico ${\displaystyle p(t)}$ é governada pela seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem:

${\displaystyle m{d^{2}x(t) \over dt^{2}}+c{dx(t) \over dt}+kx(t)=p(t)}$

Onde m representa a massa, x representa a amplitude de vibração, t representa o tempo, c representa o coeficiente de amortecimento viscoso e k representa a rigidez do sistema ou da estrutura. Em um sistema massa-mola, por exemplo, o termo k representa a constante elástica da mola, enquanto o termo c representa um agente externo dissipante de energia (uma força de atrito, por exemplo) proporcional à velocidade do sistema.

Se um sistema está inicialmente em sua posição de equilíbrio, de onde ele recebe um pulso unitário no instante t=0, o estímulo mecânico ${\displaystyle p(t)}$ é a função Delta de Dirac, ${\displaystyle \delta (t)}$. Assim,

${\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$ . A partir desse fato, ao se resolver a equação diferencial encontra-se uma solução fundamental (conhecida como a função de resposta pulso unitário),

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}$

onde ${\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ é chamado de fator de amortecimento do sistema, ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ é a frequência angular natural de oscilação do sistema não-amortecido (o que ocorre quando não há a presença de forças dissipativas, ou seja, quando c = 0) e ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ é a frequência angular do sistema quando estão presentes fatores de amortecimento (o que ocorre quando forças dissipativas, como a força de atrito, estão presentes). Nesse caso, c ${\displaystyle \neq }$ 0. Se o impulso ocorre no instante t = ${\displaystyle \tau }$, em vez de ocorrer em t = 0, então${\displaystyle p(t)=\delta (t-\tau )}$ e a resposta ao impulso é:

${\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}$, ${\displaystyle t\geq \tau }$.

Estímulo com sobreposição de impulsos[editar | editar código-fonte]

Considerando o estímulo variável no tempo ${\displaystyle p(t)}$ como uma sobreposição de uma série de impulsos, têm-se que

${\displaystyle p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

Como está sendo considerado um sistema linear, a resposta resultante a todos os impulsos pode ser vista como a superposição de uma série de impulsos-resposta,

${\displaystyle x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

Tomando ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$ e substituindo a notação de somatório pela integração, pode-se escrever validamente a seguinte equação:

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$

Substituindo a expressão ${\displaystyle h(t-\tau )}$ na equação acima é encontrada a expressão geral da Integral de Duhamel:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

Proposição[editar | editar código-fonte]

A equação de equilíbrio dinâmico abaixo, para um sistema amortecido viscosamente e com um grau de liberdade, é uma equação homogênea quando ${\displaystyle p(t)}$ = 0:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0}$. Aqui, todos os termos da equação foram divididos pela massa m, isto é, ${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}}$.

De fato, a solução dessa equação é

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}}$

A substituição ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;B={\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A}$ leva a

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}}$

Uma solução particular para a equação não-homogênea ${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p(t)}}}$, onde ${\displaystyle {\bar {p(t)}}={\frac {p(t)}{m}}}$, pode ser obtida utilizando o método Lagrangeano de encontrar soluções particulares para equações diferenciais ordinárias não-homogêneas.

A solução tem a forma

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Substituindo: ${\displaystyle \int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}|_{t=z}=Q_{z},\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}|_{t=z}=R_{z}}$, onde ${\displaystyle \int {x(t)dt}|_{t=z}}$ é a antiderivada de ${\displaystyle x(t)}$ em t = z. Assim,

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea acima é dada por:

${\displaystyle x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

com derivada temporal:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}]}$, onde ${\displaystyle {\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}}$

De forma a encontrar as constantes desconhecidas ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$, as condições iniciais em t = 0 serão aplicadas:

${\displaystyle x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0\Rightarrow C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0\Rightarrow A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]}$

Reunindo as equações das condições iniciais, o seguinte sistema é obtido:

${\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}}$

Substituindo novamente as constantes ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ na expressão de ${\displaystyle x(t)}$, tem-se que

${\displaystyle x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}}$

Agora trocando as diferenças entre as antiderivadas nos instantes t = 0 e t = t, ${\displaystyle Q_{t}-Q_{0}}$ e ${\displaystyle R_{t}-R_{0}}$ , por integrais definidas (e utilizando outra variável, ${\displaystyle \tau }$) é encontrada a solução geral para o caso com condições iniciais iguais a zero,

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{P}}\cdot [\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}]}$

Finalmente, substituindo ${\displaystyle c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m}$ e suas variantes divididas pela massa m, ${\displaystyle {\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}}$, onde ${\displaystyle \xi <1}$, obtém-se

${\displaystyle P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i}$, onde ${\displaystyle \omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}}$ e '${\displaystyle i}$' é a unidade imaginária.

Substituindo essas expressões na solução geral da equação encontrada acima, com condições iniciais iguais a zero, e utilizando a fórmula de Euler, os termos imaginários são cancelados e pode-se escrever a Integral de Duhamel em sua forma final:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}e^{-\xi \omega (t-\tau )}sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }}$